评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题要求学生求分段函数 \(f(x)\) 的导数 \(f'(x)\) 并讨论其极值情况。学生的作答情况如下：

1. 求导部分：
   • 对于 \(x > 0\)，学生正确写出 \(f(x)=e^{2x\ln x}\) 并求导得到 \(f'(x)=(2\ln x + 2)e^{2x\ln x}\)，这与标准答案 \(x^{2x}(2\ln x+2)\) 等价，正确。
   • 对于 \(x \leq 0\)，学生正确写出 \(f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(1+x)\)，正确。
   • 但是，学生完全没有讨论分段点 \(x=0\) 处的导数（即左右导数）和函数在该点的定义与连续性。题目要求“求 \(f'(x)\)”，这通常包括明确 \(f'(x)\) 的表达式及其定义域。标准答案通过计算左右导数，得出在 \(x=0\) 处导数不存在（右导数为负无穷）。学生忽略了这一点，属于逻辑不完整，应扣分。
2. 极值讨论部分：
   • 学生通过令 \(f'(x)=0\) 找到两个驻点：\(x=e^{-1}\) (在 \(x>0\) 区间) 和 \(x=-1\) (在 \(x<0\) 区间)。
   • 学生计算了二阶导数 \(f''(x)\) 并判断 \(f''(e^{-1})>0\) 和 \(f''(-1)>0\)，从而得出这两点都是极小值点，并计算了对应的函数值。
   • 然而，学生的分析存在严重逻辑错误：
     1. 定义域错误：对于 \(x \leq 0\) 的部分，学生给出的 \(f''(x)=e^{x}(2+x)\) 是正确的。但当 \(x=-1\) 时，\(f''(-1)=e^{-1}(2-1)=e^{-1}>0\)，判断为极小值点，逻辑上似乎成立。但学生完全忽略了分段点 \(x=0\) 这个更重要的候选极值点。根据函数定义，\(f(0)=1\)。在 \(x=0\) 附近，标准答案的分析表明：当 \(x<0\) 时 \(f'(x)>0\)（函数递增），当 \(x>0\) 时 \(f'(x)<0\)（函数递减），因此 \(x=0\) 是一个极大值点。学生没有分析 \(x=0\)，却将 \(x=-1\) 判断为极值点，这是错误的。因为在 \(x<0\) 时，\(f'(x)=e^{x}(1+x)\)，当 \(x<-1\) 时 \(f'(x)<0\)，当 \(-10\)，所以 \(x=-1\) 实际上是 \(f(x)\) 在 \((-\infty, 0]\) 区间内的一个极小值点。但是，学生没有考虑区间端点...