评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答给出了两次识别结果，内容基本一致。我们按照标准答案的步骤进行评判：

• 一阶偏导数 \(\frac{\partial g}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial g}{\partial y}\) 计算正确，与标准答案一致。
• 二阶偏导数 \(\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}\) 计算正确，化简后为 \(-f_{11}'' - 2f_{12}'' - f_{22}''\)，学生写成了四项展开形式 \(-f_{11}'' - f_{12}'' - f_{21}'' - f_{22}''\)，由于 \(f\) 具有二阶连续偏导数，所以 \(f_{12}'' = f_{21}''\)，因此该写法与标准答案等价，不扣分。
• 二阶混合偏导数 \(\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}\) 计算有误。标准答案为 \(1 - f_{11}'' + f_{22}''\)，而学生计算为 \(1 - f_{11}'' + f_{12}'' - f_{21}'' + f_{22}''\)。这里学生在对 \(f_1'\) 和 \(f_2'\) 求关于 \(y\) 的偏导时，符号处理出现逻辑错误。具体来说，对 \(\frac{\partial g}{\partial x} = y - f_1' - f_2'\) 求 \(\frac{\partial}{\partial y}\) 时，\(f_1'\) 和 \(f_2'\) 都是 \(u=x+y, v=x-y\) 的函数，根据链式法则，\(\frac{\partial f_1'}{\partial y} = f_{11}'' \cdot 1 + f_{12}'' \cdot (-1) = f_{11}'' - f_{12}''\)，\(\frac{\partial f_2'}{\partial y} = f_{21}'' \cdot 1 + f_{22}'' \cdot (-1) = f_{21}'' - f_{22}''\)。因此 \(\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} = 1 - (f_{11}'' -...