评分及理由

（1）求a的取值（满分6分）

学生作答中，通过行变换得到矩阵A和B的阶梯形，并利用行列式条件|A|=|B|得出a=±1。但这里存在逻辑错误：向量组等价要求它们可以互相线性表示，等价于它们张成的空间相同，即秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表示。仅由|A|=|B|（甚至行列式可能为0）不能直接推出等价，必须检查秩的条件。学生虽然提到了r(A)=r(B)，但未实际验证a=±1时秩是否相等，也未验证互相线性表示。实际上，当a=-1时，计算可知r(A)=2，但r(B)=3（可验证），此时不等价。因此学生得出a=±1是不完全正确的，应扣分。但后续在表示β3时只用了a=1，说明可能意识到a=-1有问题，但未明确排除。标准答案只给出a=1，因此此处逻辑不严谨。

扣分：逻辑错误，未排除a=-1的情况。给3分（满分6分）。

（2）将β3用α1,α2,α3线性表示（满分5分）

学生在假设a=1的情况下，正确构造增广矩阵并求解线性方程组Ax=β3，得到通解形式。计算过程基本正确，最终表达式与标准答案形式不同但等价（可通过取不同的k转换）。思路正确，不扣分。

给5分。

题目总分：3+5=8分