评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确利用相似矩阵的迹相等和行列式相等建立方程组：
迹：tr(A) = -2 + x + (-2) = x - 4，tr(B) = 2 + (-1) + y = 1 + y，得 x - 4 = 1 + y。
行列式：|A| = (-2)*x*(-2) + (-2)*(-2)*0 + 1*2*0 - [1*x*0 + (-2)*(-2)*0 + (-2)*2*(-2)] = 4x - 8，|B| = 2*(-1)*y = -2y，得 4x - 8 = -2y。
解得 x = 3, y = -2，与标准答案一致。
计算过程清晰无误，得满分5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生先求B的特征值，得到 λ₁=-1, λ₂=-2, λ₃=2，正确。
然后分别对每个特征值求A的特征向量：
- 对于λ₁=-1，解(λ₁E-A)x=0，得到特征向量α₁=(-2,1,0)ᵀ，正确。
- 对于λ₂=-2，解(λ₂E-A)x=0，得到特征向量α₂=(-1,2,4)ᵀ，正确。
- 对于λ₃=2，解(λ₃E-A)x=0，得到特征向量α₃=(-1,2,0)ᵀ（第二次识别结果）或(-1,1,0)ᵀ（第一次识别结果）。这里存在不一致，但第二次识别结果α₃=(-1,2,0)ᵀ是正确的（验证：代入(2E-A)α₃=0成立）。
学生直接将这三个特征向量作为列构成矩阵P，得到 P = [α₁, α₂, α₃] = [[-2,-1,-1],[1,2,2],[0,4,0]]。
然而，标准答案中的P是通过将A和B分别对角化后组合得到的（P = P₁P₂⁻¹），而学生的方法默认了A和B在相同的特征值顺序下，特征向量按列排成的矩阵P能直接使得P⁻¹AP = B。这是不正确的，因为相似矩阵有相同的特征值但特征向量一般不同。学生求出的P是使A对角化的矩阵（如果特征向量线性无关），但并不能保证P⁻¹AP等于给定的B（除非B恰好是对角矩阵且特征值顺序对应）。这里B不是对角矩阵（它是分块对角，但右下角是y=-2，左上角是2×2块[[2,1],[0,-1]]），所以学生的做法逻辑错误。
因此，第(2)问的解题思路错误，不能得分。但考虑到学生正确求出了特征值和特征向量，且计算过程大部分正确，可酌情给部分步骤分。通常此类题目(2)问满分6分，特征值部分占2分，特征向量部分...