评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出了X的概率密度和分布函数，并利用全概率公式求Z的分布函数。在计算过程中，对z≤0和z>0分别讨论，思路正确。但在最后写概率密度时，结果与标准答案不一致：标准答案为 \( f_Z(z) = \begin{cases} (1-p)e^{-z}, & z>0 \\ pe^{z}, & z<0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \)，而学生答案为 \( f_Z(z) = \begin{cases} (1-P)e^{z}, & z\leq0 \\ Pe^{-z}, & z>0 \end{cases} \)。学生答案中，当z≤0时密度为\((1-P)e^{z}\)，这相当于标准答案中\(z<0\)部分的\(pe^{z}\)，但学生写的是\((1-P)e^{z}\)，这里p和(1-p)的位置与标准答案相反，且学生未说明z=0处的处理（标准答案中z=0处密度为0，因为指数分布在0点连续但密度在0点有定义，不过此处不影响主要结论）。此外，学生将参数写为P（大写），与题目中小写p一致，可视为同一参数。但关键错误在于：学生从分布函数求导得到密度时，在z>0部分，其分布函数为\(P(1-e^{-z})\)，求导应得\(Pe^{-z}\)，这与标准答案的\((1-p)e^{-z}\)不一致（系数p与1-p颠倒）。实际上，根据学生前面的推导，\(F_Z(z)=P\cdot F_X(z)+(1-P)[1-F_X(-z)]\)，当z>0时，\(F_X(z)=1-e^{-z}\)，\(F_X(-z)=0\)（因为-X≤z且z>0时，-z<0，X≥-z的概率为1，所以1-F_X(-z)=1-0=1），因此\(F_Z(z)=P(1-e^{-z})+(1-P)\cdot1 = 1 - Pe^{-z}\)，求导得\(Pe^{-z}\)。而标准答案为\((1-p)e^{-z}\)。学生计算中在z>0时忽略了(1-P)项，导致分布函数错误，进而密度错误。因此，密度结果错误。但考虑到学生思路基本正确，且完成了主要步骤，给予部分分数。扣2分，得2分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确写出不相关条件，并计算cov(X,Z)。计算过程：cov(X,Z)=E(X^2Y)-(EX)^2EY = E(X^2)EY-(EX)^2EY = DX·EY。其中EY=1-2p，DX=1，因此cov=1-2p。令其为0得p=1/2。学生计算正确，但中间多余计算了DY和相关系数，不过未影响最终结果。因此给满分4分。

（3）得分及理由（满分3分）

学生指出要判断f(x,z)与f_X(x)f_Z(z)是否相等，但未完成。实际上，X与Z不独立，因为Z的取值依赖于X和Y，且Y与X独立但Z=XY，直观上X与Z有关联。标准答案直接给出“不独立”。学生仅写出判断思路，未给出结论或理由，因此不能给满分。但考虑到(3)问通常需要简单说明，学生未完成，扣2分，得1分。

题目总分：2+4+1=7分