评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答给出了两次识别结果，内容基本一致。我们依据标准答案逐步核对：

1. 一阶偏导数 \(\frac{\partial g}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial g}{\partial y}\) 计算正确。
2. 二阶偏导数 \(\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}\) 计算正确。
3. 二阶混合偏导数 \(\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}\) 的计算过程中，学生对链式法则的应用有误。标准答案为 \(1 - f_{11}'' + f_{22}''\)，而学生得到的是 \(1 - f_{11}'' + f_{12}'' - f_{21}'' + f_{22}''\)。这里错误地将 \(f_{12}''\) 和 \(f_{21}''\) 项保留且符号有误。由于 \(f\) 具有二阶连续偏导数，\(f_{12}'' = f_{21}''\)，但学生表达式中的这两项并未抵消，且符号与标准答案不符，这是一个逻辑错误。
4. 二阶偏导数 \(\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}\) 计算正确。
5. 在最后求和时，学生将三个二阶偏导数相加，得到 \(1 - 3f_{11}''+f_{12}'' - f_{21}'' - f_{22}''\)。由于前述混合偏导数的错误，导致最终结果中多出了 \(f_{12}''\) 和 \(f_{21}''\) 项，且 \(f_{22}''\) 的系数错误（应为 \(-f_{22}''\)，但学生结果中 \(f_{22}''\) 的系数为 \(-1\)，与标准答案的 \(-1\) 一致，但表达式写法易引起混淆，需结合其展开式判断）。实际上，将学生给出的三个二阶偏导数表达式（假设混合偏导表达式为给定形式）相加，\(f_{12}''\) 和 \(f_{21}''\) 项不会完全抵消，最终结果与标准答案 \(1-3f_{11}''-f_{22}''\) 不符。

核心错误在于计算 \(\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}\) 时链式法则应用错误，导致最终答案错误。该题满分10分，此逻辑错误属于关键步骤错误，应扣除较...