评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两次识别结果。第一次识别结果中，学生正确理解了需要计算曲线与x轴之间图形的面积，即需要计算 \(\int_{0}^{+\infty}|e^{-x} \sin x| d x\)。学生正确地通过求导找到了函数的零点（\(x=k\pi\)）和极值点，并分区间（\([0, \pi]\), \([\pi, 2\pi]\)）计算了面积。计算 \(S_1\) 和 \(S_2\) 的过程（使用分部积分法）基本正确，得到了 \(S_1 = \frac{1}{2}(e^{-\pi}+1)\) 和 \(S_2 = \frac{1}{2}(e^{-2\pi}+e^{-\pi})\)。在归纳总面积时，学生写出了 \(S = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + e^{-\pi} + e^{-2\pi} + \cdots + e^{-n\pi})\)，但此表达式有误，应为 \(S = \lim_{n \to \infty} [\frac{1}{2}(1+e^{-\pi}) + \frac{1}{2}(e^{-\pi}+e^{-2\pi}) + \cdots + \frac{1}{2}(e^{-n\pi}+e^{-(n+1)\pi})]\) 或类似形式。学生直接写成了首项为1/2、公比为 \(e^{-\pi}\) 的等比数列求和，这导致了最终结果的错误。因此，第一次识别结果在关键的最后一步出现了逻辑错误。

第二次识别结果在分区间计算 \(S_1\) 和 \(S_2\) 的步骤上与第一次相同且正确。但在最后求总面积时，学生明确写道：“归纳得出 \(S=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{2}+e^{-\pi}+e^{-2\pi}+\cdots+e^{-n\pi})\)。这是一个首项 \(a_1=\frac{1}{2}\)，公比 \(q = e^{-\pi}\) 的无穷等比数列的和... \(S=\frac{\frac{1}{2}}{1 - e^{-\pi}}=\frac{1}{2(1 - e^{-\pi})}\)。” 这里存在严重的逻辑错误。从 \(S_1\) 和 \(S_2\) 的结果来看，总面积应该是所有区间面积之和：\(S = S_1 + S_2 + S_...