评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生只给出了单调递减的证明，且证明过程基本正确：通过计算 \(a_{n+1} - a_n = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} x^n (x-1) dx\)，由于在积分区间 \([0,1]\) 上 \(\sqrt{1-x^2} \ge 0\)，\(x^n \ge 0\)，\((x-1) \le 0\)，且不恒为零，因此积分小于0，从而数列单调递减。这一部分逻辑清晰，可得满分（该部分通常占2-3分，但题目未细分，按整体给分）。

但是，学生完全没有证明递推公式 \(a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}\)。这是题目要求证明的两个结论之一，缺失该部分证明应扣分。考虑到(1)问通常包含单调性和递推关系两部分，且递推关系是重点，学生只完成了一半。因此，给予(1)问部分分数：3分（满分5分）。

（2）得分及理由（满分5分）

学生作答中完全没有涉及第(2)问求极限 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\) 的内容。因此，该部分得0分。

题目总分：3+0=3分