评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答分为两次识别，内容基本一致。本题要求：①求向量组等价时a的取值；②将β₃用α₁,α₂,α₃线性表示。

学生思路：先对矩阵A和B作行变换，然后利用矩阵等价则行列式相等且秩相等来求a。得到a=±1后，在a=1时（实际上a=-1也需要考虑，但学生只做了a=1的情况）求解Ax=β₃，得到线性表示式。

扣分点分析：

1. 逻辑错误：学生由|A|=|B|得到a=±1，但未验证此时秩是否相等。当a=-1时，A的秩为2（因a²-1=0），B的秩计算：B→[[1,0,1],[0,2,2],[0,2,0]]（代入a=-1），秩为3，故a=-1不满足秩相等，因此a只能为1。学生未排除a=-1，属于逻辑不完整，扣2分。
2. 逻辑错误：学生在求线性表示时，写的是“当a≠1时，令Ā=(α₁,α₂,α₃,β₃)”，但随后代入的矩阵是a=1时的矩阵（第三行全为4），这明显矛盾。实际上，根据前面结论a=1，此处应为“当a=1时”。此逻辑混乱扣1分。
3. 计算错误：在求线性表示时，学生得到的通解形式为x=(-2k+3, k-2, k)ᵀ，但标准答案给出的形式不同。经检验，学生的解是正确的（可令k'=k-1，则变为标准答案形式），因此不扣分。

得分计算：满分11分，扣除逻辑错误共3分，得8分。

题目总分：8分