评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体正确，思路清晰，步骤完整。具体分析如下：

• 正确将原方程整理为可分离变量形式 \((y^2+1)dy = (1-x^2)dx\)，并积分得到隐式通解 \(\frac{1}{3}y^3 + y = x - \frac{1}{3}x^3 + C\)。
• 正确利用初始条件 \(y(2)=0\) 求出常数 \(C = \frac{2}{3}\)。
• 正确通过对隐式方程两边求导得到 \(y' = \frac{1-x^2}{1+y^2}\)，并令 \(y'=0\) 得到驻点 \(x = \pm 1\)。
• 正确分析 \(y'\) 的符号：当 \(x<-1\) 或 \(x>1\) 时 \(y'<0\)，当 \(-10\)，从而判定 \(x=-1\) 处取得极小值，\(x=1\) 处取得极大值。
• 正确将 \(x=\pm 1\) 代入隐式方程 \(y^3+3y=3x-x^3+2\) 求出对应的函数值 \(y(1)=1\)，\(y(-1)=0\)。

学生作答中有一处小瑕疵：在单调性分析中，学生写的是“当 \(-1 \leqslant x \leqslant 1\) 时，\(y' \geqslant 0\)”，这包括了等号。严格来说，在驻点 \(x=\pm 1\) 处 \(y'=0\)，所以区间内部应为 \(y'>0\)。但考虑到学生后续极值判断正确，且此表述不影响最终结论，根据“思路正确不扣分”的原则，不因此扣分。

因此，本题作答完全正确，得满分10分。

题目总分：10分