评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生正确应用积分中值定理得到存在 \(\xi_0 \in (0,1)\) 使得 \(f(\xi_0)=1\)，结合已知条件 \(f(1)=1\)，在区间 \([\xi_0, 1]\) 上应用罗尔定理，得到存在 \(\xi \in (\xi_0, 1) \subset (0,1)\) 使得 \(f'(\xi)=0\)。推理过程完整，逻辑正确。因此得满分5分。

（II）得分及理由（满分6分）

学生构造辅助函数 \(F(x)=f(x)+x^2\)，并计算 \(F(0), F(\xi_0), F(1)\) 的值。在区间 \([0, \xi_0]\) 和 \([\xi_0, 1]\) 上分别应用拉格朗日中值定理得到 \(F'(\eta_1)\) 和 \(F'(\eta_2)\) 的表达式。随后在 \([\eta_1, \eta_2]\) 上对 \(F'(x)\) 应用拉格朗日中值定理得到 \(F''(\eta)\) 的表达式，并推导出 \(F''(\eta) < 0\)。由 \(F''(x)=f''(x)+2\) 最终得到 \(f''(\eta) < -2\)。整个证明思路清晰，步骤完整，逻辑严密，没有错误。因此得满分6分。

题目总分：5+6=11分