评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第1次识别结果存在较多错误：特征向量求解后单位化有误，正交矩阵Q的构造错误，导致对角化结果错误（得到非对角矩阵），标准形写错。第2次识别结果基本正确：正确写出矩阵A，求特征值正确，求特征向量正确，单位化过程正确（注意ξ3已经是单位向量，直接作为γ3），构造的正交矩阵Q正确（但需注意列向量顺序与特征值对应，这里顺序为λ=2,4,4对应的特征向量，不影响正交变换），得到标准形为2y₁²+4y₂²+4y₃²（与标准答案4y₁²+4y₂²+2y₃²形式不同，但本质相同，只是特征向量顺序不同导致变量对应顺序不同，最小值仍为2）。由于第2次识别结果思路和计算正确，根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，本小题不扣分。但需注意：学生第2次识别中正交矩阵Q的最后一列是(0,1,0)ᵀ，对应特征值4，而标准答案中对应特征值4的特征向量有两个，顺序可调换，因此Q的构造合理。最终标准形表达式虽与标准答案字母顺序不同，但正确。因此给满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

第2次识别结果中，利用正交变换x=Qy，将原问题转化为求(2y₁²+4y₂²+4y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²)的最小值。通过放缩：分子 = 2(y₁²+y₂²+y₃²) + 2y₂²+2y₃² ≥ 2(y₁²+y₂²+y₃²)，因此比值 ≥ 2。并且当y₂=y₃=0时取等号，最小值2。论证正确。第1次识别结果中因标准形错误导致后续表达式错误，但根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”，本小题不扣分。因此给满分6分。

题目总分：6+6=12分