评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路与标准答案一致：将区域 D 分为两部分，采用极坐标变换，并分别计算 I₁ 和 I₂。在 I₁ 的计算中，过程基本正确，最终得到 I₁ = π - 2。但在 I₂ 的计算中存在明显的逻辑错误。

具体错误：在 I₂ 的积分表达式中，学生写为 ∫∫ r(1 - sinθ) dr dθ，但根据被积函数 (cosθ - sinθ)² 在极坐标下应为 (cosθ - sinθ)² · r dr dθ，因此内层对 r 积分后应为 (1/2) r²，但学生错误地将被积函数写成了 r(1 - sinθ)，这导致后续计算完全错误。尽管后续积分计算在形式上进行了，但由于被积函数错误，整个 I₂ 的计算无效。标准答案中 I₂ 部分积分结果为 π，而学生得到 0，因此 I₂ 部分不能得分。

由于 I₁ 部分计算正确（可得约 6 分），但 I₂ 部分完全错误（得 0 分），且最终答案错误，因此扣除 I₂ 对应的分数。考虑到本题为 12 分综合题，通常 I₁ 和 I₂ 各占约 6 分。但学生 I₁ 计算正确，I₂ 思路正确但计算存在根本性错误，给予部分步骤分。综合评定，本题得分 8 分（满分 12 分）。

题目总分：8分