评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为“e”。标准答案为“-1”。

题目要求判断级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}e^{-nx}\) 的收敛域为 \((a, +\infty)\) 时的常数 \(a\)。解题关键在于确定使级数收敛的 \(x\) 的范围。通常使用比值判别法（或根值判别法）分析通项 \(u_n = \frac{n!}{n^n} e^{-nx}\) 的收敛性。

计算 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} e^{-(n+1)x} \cdot \frac{n^n}{n!} e^{nx} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}} e^{-x} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} e^{-x} = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} e^{-x} = e^{-1} \cdot e^{-x} = e^{-(x+1)}\)。

由比值判别法，当 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| < 1\) 时级数收敛，即 \(e^{-(x+1)} < 1\)，解得 \(-(x+1) < 0\)，即 \(x > -1\)。当 \(x < -1\) 时级数发散。当 \(x = -1\) 时，比值的极限为 1，判别法失效，需单独验证。通常代入 \(x = -1\)，通项为 \(\frac{n!}{n^n} e^{n}\)，由 Stirling 公式 \(n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\)，得通项 \(\sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \frac{1}{n^n} e^{n} = \sqrt{2\pi n}\)，不趋于 0，故级数发散。因此收敛域为 \((-1, +\infty)\)，即 \(a = -1\)。

学生答案“e”可能是误将比值极限中的 \(e^{-(x+1)}\) 与 1 比较时，错误地认为 \(e^{-(x+1)} < 1\) 等价于 \(-(x+1) < 0\) 这一步计算错误，或者误记了常数 \(e\) 的值。这是一个根本性的计算错误，导致答案与标准答案不符。

根据题目要求，填空题正确则给5分，错误则给0分，本题禁止给步骤分。因此，该答案得0分。

题目总分：0分