评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“3/4”。

标准答案为“5/8”。

计算过程分析：题目要求计算 \( P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) \)。根据条件概率公式，这等于 \( \frac{P((B \cup C) \cap (A \cup B \cup C))}{P(A \cup B \cup C)} \)。由于 \( B \cup C \) 是 \( A \cup B \cup C \) 的子集，所以分子即为 \( P(B \cup C) \)。

已知 \( B \) 与 \( C \) 相互独立，所以 \( P(B \cap C) = P(B)P(C) = \frac{1}{9} \)。因此，\( P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \)。

接下来计算分母 \( P(A \cup B \cup C) \)。已知 \( A \) 与 \( B \) 互不相容，\( A \) 与 \( C \) 互不相容，但 \( B \) 与 \( C \) 独立且可能相交。利用加法公式和容斥原理：
\( P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \)。
由于 \( A \) 与 \( B \) 互不相容，\( A \) 与 \( C \) 互不相容，所以 \( P(A \cap B) = 0 \)，\( P(A \cap C) = 0 \)。又因为 \( A \) 与 \( B \) 和 \( C \) 都不相容，所以 \( A \cap B \cap C \) 也是空集，概率为 0。
代入得：\( P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - 0 - 0 - \frac{1}{9} + 0 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)。

因此，最终概率为 \( \frac{P(B \c...