评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1/8”，与标准答案“\(\frac{1}{8}\)”完全一致。

本题考察傅里叶级数和函数的性质。函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上定义，其傅里叶正弦级数为 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\pi x\)。和函数 \(S(x)\) 是傅里叶级数在整个实数轴上的延拓，它是以 \(2\) 为周期的奇函数（因为正弦级数对应奇延拓）。

计算 \(S(-7/2)\) 时，需要利用周期性：\(S(x+2) = S(x)\)，以及奇函数性质：\(S(-x) = -S(x)\)。 具体过程为： \[ S\left(-\frac{7}{2}\right) = S\left(-\frac{7}{2} + 4\right) = S\left(\frac{1}{2}\right) \] 因为周期为2，加4（两个周期）后函数值不变。在区间 \([0,1]\) 内，傅里叶正弦级数收敛到 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 内的值，但在端点 \(x=0,1\) 处收敛到0，在间断点 \(x=1/2\) 处收敛到左右极限的平均值。对于 \(x=1/2\)，左极限为 \(f(1/2^-)=0\)，右极限为 \(f(1/2^+)=(1/2)^2=1/4\)，因此平均值是 \((0+1/4)/2 = 1/8\)。所以 \(S(1/2) = 1/8\)。

学生答案正确，思路与标准答案一致，计算无误。根据评分规则，应得满分5分。

题目总分：5分