评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为“4/3”。本题要求计算函数 \(u(x,y,z)=xy^{2}z^{3}\) 在点 \((1,1,1)\) 处沿方向 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 的方向导数 \(\left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right\vert _{(1,1,1)}\)。

方向导数的计算公式为 \(\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} = \nabla u \cdot \boldsymbol{n}^0\)，其中 \(\boldsymbol{n}^0\) 是方向向量 \(\boldsymbol{n}\) 的单位向量。

首先计算梯度 \(\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)\)。

在点 \((1,1,1)\) 处，梯度值为 \(\nabla u|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3)\)。

接着计算方向向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 的单位向量：其模为 \(|\boldsymbol{n}| = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{9} = 3\)，因此单位向量 \(\boldsymbol{n}^0 = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)\)。

最后计算方向导数：\(\nabla u|_{(1,1,1)} \cdot \boldsymbol{n}^0 = (1, 2, 3) \cdot \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1\)。

因此，标准答案为 1。学生答案“4/3”是错误的。可能的原因是学生计算梯度时出错，或者未将方向...