评分及理由

（1）收敛域部分得分及理由（满分6分）

学生作答中，对级数拆分为两个部分分别讨论收敛性的思路是正确的。但在具体处理时存在多处逻辑错误：

1. 学生试图直接对 \(u_n(x)\) 使用比值判别法，但表达式复杂且极限计算有误（给出的不等式 \(\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1\) 没有正确求出极限值，也未区分两个部分分别判断）。
2. 对于 \(\sum e^{-nx}\) 部分，学生没有明确指出其收敛域为 \(x>0\)，而是直接得到 \(0
3. 对于 \(\sum \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}\) 部分，学生完全没有分析其收敛半径和端点收敛性，直接与第一部分取交集得到 \((0,1]\)，缺少必要的步骤。
4. 在 \(x=1\) 时，学生将 \(u_n(1)\) 拆成 \(e^{-n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\)，然后写 \(\sum u_n(1) = \sum (1-\frac{1}{n+1}) + \sum e^{-n}\)，这里 \(\sum (1-\frac{1}{n+1})\) 是发散的（因为一般项不趋于0），但学生错误地认为它收敛于1，这是严重的逻辑错误。

尽管最终给出的收敛域 \((0,1]\) 与答案一致，但推理过程存在根本性错误，不能给满分。考虑到最终结果正确，但过程有严重缺陷，扣3分。

得分：3分

（2）和函数部分得分及理由（满分6分）

学生作答完全没有求和函数 \(S(x)\) 的表达式，只给出了收敛域的结论。因此这一部分完全未完成。

得分：0分

题目总分：3+0=3分