评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确指出使积分最大的区域是圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 4\)，并正确计算了二重积分，得到 \(I(D_1) = 8\pi\)。计算过程清晰，结果正确。因此得满分6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生解答存在逻辑错误。学生正确地定义了 \(P, Q\)，并计算了偏导数，得出 \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\)，这表明在原点以外的区域，被积表达式是某函数的全微分。学生也想到了用格林公式，并补了一个椭圆曲线 \(x^2+4y^2=b^2\) 来避开奇点。

然而，在应用格林公式时，学生写道：
\(\oint_{\partial D_1} ... = \iint_{D_1 - D_2}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\)。
这是不正确的。正确的做法是，由于在 \(D_1\) 内原点处被积函数无定义，需要挖去一个包含原点的小区域（如椭圆 \(D_2\)），然后对由 \(\partial D_1\)（正向）和 \(\partial D_2\)（负向）围成的复连通区域应用格林公式。学生等式右边直接写 \(D_1 - D_2\) 作为积分区域，但左边的线积分没有相应地写成沿两条边界的和，这在逻辑上不匹配。

更重要的是，学生在后续计算中声称：
\(\oint_{\partial D_1} ... = \frac{1}{b^2}\iint_{D_2} 2 dxdy = 2\)。
这个等式没有依据，且计算结果是错误的（正确答案是 \(-\pi\)）。这里出现了严重的逻辑错误和计算错误。

因此，本小题扣除全部6分。

题目总分：6+0=6分