评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：2分

理由：

1. 特征值计算基本正确（得1分）。学生通过行列式变换得到了特征多项式 \((\lambda - a + 1)^2(\lambda - a - 2)=0\)，并正确得出特征值 \(\lambda_1 = a+2, \lambda_{2,3}=a-1\)。
2. 特征向量求解存在严重逻辑错误（扣3分）。对于二重特征值 \(a-1\)，学生给出的特征向量 \(\beta_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 和 \(\beta_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 是线性无关的，但后续使用向量叉乘 \(\beta_3 = \beta_1 \times \beta_2\) 来求第三个特征向量的方法是错误的。向量叉乘是三维空间中求与两个向量正交的向量的方法，但这里需要的是属于不同特征值（\(a+2\)）的特征向量，它应该通过解线性方程组 \(( (a+2)E - A )x=0\) 得到，而不是通过叉乘。这表明学生对特征向量的求解原理理解有误。
3. 正交化与单位化过程错误（扣1分）。由于特征向量求解错误，后续的单位化矩阵 \(P\) 的构造也是错误的。给出的 \(P\) 矩阵各列并非全部由单位正交的特征向量组成。
4. 最终未给出正确的正交矩阵 \(P\) 和对角矩阵 \(P^TAP\)，因此该部分答案不完整。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：0分

理由：

1. 学生没有给出正定矩阵 \(C\) 的求解过程和结果。答案中只写到“设 \(C=(a+3)E-A\)，\(D=C^2\)，求 \(|\lambda E - D|\)（后续未完整计算）”，这完全误解了题目的要求。题目要求的是求 \(C\) 使得 \(C^2 = (a+3)E - A\)，而不是去计算 \((a+3)E - A\) 的特征值。
2. 学生的思路完全偏离了标准答案中利用（Ⅰ）的结果进行合同对角化，然后开平方得到 \(C\) 的正确方法。因此，该部分没有得分点。

题目总分：2+0=2分