评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“1”。

首先，计算题目中的积分：
\[ \int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x + a)}dx \] 被积函数可以分解为部分分式： \[ \frac{a}{x(2x + a)} = \frac{1}{x} - \frac{2}{2x + a} \] 因此，积分变为： \[ \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x} - \frac{2}{2x + a}\right)dx = \left[ \ln|x| - \ln|2x + a| \right]_{1}^{+\infty} = \left[ \ln\left|\frac{x}{2x + a}\right| \right]_{1}^{+\infty} \] 计算极限： \[ \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x}{2x + a}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \] 在 \(x=1\) 处： \[ \ln\left(\frac{1}{2 + a}\right) = -\ln(2 + a) \] 所以，积分值为： \[ (-\ln 2) - (-\ln(2 + a)) = \ln(2 + a) - \ln 2 = \ln\left(\frac{2 + a}{2}\right) \] 根据题意，该积分等于 \(\ln 2\)，因此： \[ \ln\left(\frac{2 + a}{2}\right) = \ln 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{2 + a}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad 2 + a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] 标准答案为 \(a = 2\)。学生给出的答案是“1”，这是一个具体的数值，但与标准答案不符。

根据评分规则，本题为填空题，正确则给5分，错误则给0分，禁止给步骤分。学生答案错误，因此得0分。

题目总分：0分