评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答分为两次识别，但两次识别内容本质是同一解答过程。整体思路正确：利用等价无穷小展开分母和分子中的指数函数，通过极限存在性推导出 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处的函数值和导数值。具体步骤中，学生正确写出 \(\ln(1+x)+\ln(1-x) \sim -x^2\)，并将 \(e^{2\sin x}\) 展开到二阶，然后通过极限等式求出 \(f(x)\) 的渐近表达式，进而得到 \(f(0)=2\) 和 \(f'(0)=5\)。虽然过程中出现了一些笔误（如极限值写为3而非-3，以及展开式系数的小错误），但根据“误写不扣分”原则，这些不影响核心逻辑。然而，学生在推导过程中存在一处关键逻辑错误：在第一次识别结果的第5行，将极限值写为-3，但后续推导中却直接令化简后的表达式等于-3，而实际上根据展开式，分子分母化简后应得到关于 \(x\) 的二次项系数关系，学生直接令 \(xf(x)-2x-2x^2 = 3x^2 + o(x^2)\)，这一步缺乏严格的极限运算过渡，属于逻辑跳跃。在第二次识别中，同样存在类似问题：在化简后直接令 \(\lim_{x\to0}\frac{xf(x)-2x-2x^2}{-x^2}=3\)，而根据题目条件，该极限应为-3，但学生误写为3，且未严格说明分子中一次项系数必须为零的原因（实际上是因为分母为二阶无穷小，极限存在要求分子至少为二阶无穷小，从而一次项系数为零）。由于这一逻辑跳跃，扣2分。其余部分正确，包括最终导数值计算和可导性判断。因此，本题得分10分。

题目总分：10分

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