评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 的表达式（满分6分）

得分：4分

理由：学生正确写出 \(\frac{\partial f}{\partial x} = -2xe^{-y}\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial y} = e^{-y}(x^2 - y - 1)\)（第二次识别正确，第一次识别中 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 误写为 \(e^{y}(x^{2}-y - 1)\)，但根据上下文判断为识别错误，不扣分）。在积分求解过程中，思路正确，但具体积分和对比过程存在逻辑错误。学生通过分别对 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 积分得到两个表达式，然后对比得出 \(f(x,y)\)。然而，在第二次识别的②式中，积分结果 \((y + 1)e^{-y}-x^{2}e^{-y}+B(x)\) 是不完整的，正确积分应为 \(-x^2e^{-y} + (y+2)e^{-y} + B(x)\)。学生得出的中间表达式 \(f(x,y)=-x^{2}e^{-y}+e^{-y}+(y + 1)e^{-y}+C\) 实际上是正确的（化简后为 \(-x^2e^{-y} + (y+2)e^{-y} + C\)），但推导过程有瑕疵。最终利用 \(f(0,0)=2\) 求出 \(C=0\)，得到正确结果 \(f(x,y) = -x^2e^{-y} + (y+2)e^{-y}\)。由于核心步骤和最终答案正确，但积分推导过程存在不严谨之处，扣2分。

（2）求函数 \( f(x,y) \) 的极值（满分6分）

得分：6分

理由：学生正确求出偏导数为零的方程组，得到驻点 \((0, -1)\)。计算了二阶偏导数，并在驻点处求出 \(A, B, C\) 的值。正确应用了二元函数极值的充分条件，判定 \(AC-B^2 > 0\) 且 \(A < 0\)，从而得出 \((0, -1)\) 是极大值点，并正确计算出极大值为 \(e\)。所有步骤和结果均正确，因此得满分。

题目总分：4+6=10分