评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答分为两次识别结果。第一次识别结果中，积分限设定为 \(\theta\) 从 \(\frac{\pi}{4}\) 到 \(\frac{\pi}{2}\)，这对应于区域 \(D\) 中 \(y \ge x\) 的部分（即标准答案中的 \(D_2\)），利用对称性乘以2的思路正确。但在计算过程中，从极坐标积分化简到三角积分时，出现了多处计算错误（例如积分结果 \(128(\int \cos^4\theta d\theta - \frac{1}{24})\) 等步骤明显有误），导致最终结果 \(24\pi - \frac{16}{3}\) 虽然数值与标准答案一致，但中间过程存在逻辑错误和计算跳步，不能给满分。

第二次识别结果中，积分限正确设定为 \(\theta\) 从 \(0\) 到 \(\frac{\pi}{4}\)（对应 \(D_1\)），并利用对称性乘以2。计算过程详细，步骤清晰：正确写出极坐标变换、积分限、被积函数展开、逐项积分。在计算 \(\int_0^{\pi/4} \cos^4\theta d\theta\) 时使用了正确的降幂公式，得到 \(\frac{3\pi}{32} + \frac{1}{4}\)；计算 \(\int_0^{\pi/4} \cos^4\theta \sin2\theta d\theta\) 时通过换元得到 \(\frac{1}{24}\)。但在最后合并时出现算术错误：\(128\left(\frac{3\pi}{32}+\frac{1}{4}-\frac{1}{24}\right) = 128\left(\frac{3\pi}{32}+\frac{6}{24}-\frac{1}{24}\right) = 128\left(\frac{3\pi}{32}+\frac{5}{24}\right) = 12\pi + \frac{80}{3}\)，而学生却写成了“\(=12\pi+\frac{80}{3}=24\pi-\frac{16}{3}\)”，最后一步等式 \(12\pi+\frac{80}{3}=24\pi-\frac{16}{3}\) 明显不成立，属于计算错误。但鉴于最终答案 \(24\pi-\frac{16}{3}\) 与标准答案 \(12\pi-\frac{16}{...