评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确指出A为实对称矩阵，且由合同知A有特征值0，从而|A|=0，计算行列式得到a=4。然后计算特征多项式，得到特征值为0,3,6。由合同知正惯性指数相同，B的正惯性指数为2（因为k和6均大于0时），所以k>0。学生得出k>0，但未明确说明k的取值范围是k>0且k≠6（因为若k=6，则B的特征值为6,6,0，与A的特征值0,3,6不同，但合同只要求正负惯性指数相同，不要求特征值相同，所以k>0即可，k=6时正惯性指数也是2，所以k>0是正确范围）。学生答案中写“故k>0”是正确的。但在第二次识别中出现了“k≤6”的表述，这是错误的，但该表述出现在第(2)部分开头，可能为误写或混淆。根据禁止扣分原则，若识别结果不一致，以正确的一次为准。第一次识别中(1)部分未出现k≤6，且(1)的结论是k>0，因此(1)部分逻辑正确，计算正确。扣分点：学生在计算特征多项式时，第一次识别中矩阵元素有误（如λ+0应为λ-1），但最终特征多项式正确，可能是识别误差。第二次识别中特征多项式计算过程有跳步但结果正确。综合考虑，给满分6分。

得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

第(2)问要求存在正交矩阵Q使Q^T A Q = B，此时A与B既合同又相似，故特征值相同，所以k必须等于3。学生正确得到k=3。然后求特征向量：对于λ=0，学生得到特征向量(-1,2,-1)^T（第一次识别）或(-1,2,-1)^T（第二次识别），但第二次识别中方程组矩阵第三行有误（应为2 -1 -4，识别为2 -1 -4？实际第二次识别显示为[-4 -1 2; -1 -1 1; 2 -1 -4]，但解出的向量是(-1,2,-1)^T，正确）。对于λ=3，得到(1,1,1)^T，正确。对于λ=6，第一次识别中方程组矩阵有误（第一行2 -1 2应为2 -1 2？但写出的矩阵是[2 -1 2; 2 5 -1; 2 -1 2]，明显错误，但解出的向量是(-1,0,1)^T，正确）；第二次识别中方程组矩阵为[2 -1 2; -1 5 -1; 2 -1 2]，解出(1,0,1)^T，但标准答案是(-1,0,1)^T，两者只差一个符号，等价。学生最后给出的Q矩阵未单位化，且列向量顺序与标准答案不一致（标准答案按特征值3,6,0的顺序排，学生排列顺序不明确）。题目要求正交...