评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生第一次识别结果中，特征根计算错误（写为 \(r = 1 \pm 2i\)），导致通解形式错误（写为 \(y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)\)），进而初值代入后得到的特解 \(y = e^x(\cos 2x - \sin 2x)\) 错误。第二次识别结果中，特征根计算正确（\(r = -1 \pm 2i\)），通解形式正确，并正确利用初值条件得到特解 \(y = e^{-x} \cos 2x\)。根据“两次识别只要有一次正确则不扣分”的原则，本小题不扣分。
得分：5分

（II）得分及理由（满分5分）

学生两次识别结果中，均错误地将 \(f(x)\) 写为 \(e^x(\cos 2x - \sin 2x)\)，而非正确的 \(e^{-x} \cos 2x\)。因此，后续对 \(a_n\) 的定义和计算均基于错误的被积函数。尽管在第二次识别中，学生尝试了多种积分方法并最终给出了一个形式结果 \(a_n = \frac{(-1)^n e^{n\pi}}{5}\) 和 \(\sum a_n = \frac{-e^{\pi}}{5(1+e^{\pi})}\)，但由于出发点（被积函数）错误，整个过程逻辑错误，无法得分。
得分：0分

题目总分：5+0=5分