评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生正确写出矩阵A和B，并计算A的特征多项式得到特征值0和5。利用A与B相似（通过正交变换联系，实际上合同且相似）得到B的特征值也为0和5，从而建立关于a,b的方程组：ab=4, a+b=5，并结合a≥b解得a=4, b=1。思路和计算完全正确。

但学生作答中在建立方程组时写的是“且{ab=4,a≥b; 25-5(a+b)=0}”，其中“25-5(a+b)=0”是由特征值之和为5（即a+b=5）推导出来的，虽然表达式写法与标准答案略有差异（标准答案直接写a+b=5），但实质等价，且计算正确。因此不扣分。

得分：5分。

（II）得分及理由（满分6分）

学生正确求出了矩阵A和B分别属于特征值0和5的特征向量，并构造了矩阵P和Q1使得P^{-1}AP和Q1^{-1}BQ1都为对角阵Λ。这一步思路正确。

但在最后求解正交矩阵Q时，学生计算C = Q1P^{-1}，得到矩阵 [[4, -3], [-3, 0]]。这里存在两个问题：

1. 计算错误：Q1P^{-1}的正确结果应为(1/5)*[[4, -3], [-3, -4]]，而学生得到[[4, -3], [-3, 0]]，最后一行的第二个元素计算错误（应为-4而非0）。这属于计算错误。
2. 概念表述：题目要求的是正交矩阵Q，使得x=Qy。在标准解法中，Q应为正交矩阵。学生求出的C（即他们的Q）不仅计算有误，而且没有进行单位化（尽管此处P和Q1的列向量本身已正交，但长度不为1，直接求逆得到的矩阵不一定正交，需要调整比例因子使其成为正交矩阵）。学生没有验证或得到最终的正交矩阵形式。

由于存在计算错误且未得到正确的正交矩阵，扣分。考虑到（II）问的主要步骤（求特征向量、构造可逆矩阵使相似对角化）基本正确，但最终结果错误，给予部分分数。

得分：3分（满分6分）。

题目总分：5+3=8分