评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第1次识别与第2次识别在(1)部分均正确：由 \( f'_x(x,y) = y(1+x)e^{x-y} \) 对 \( x \) 积分得到 \( f(x,y) = xye^{x-y} + C(y) \)，再利用条件 \( f(1,y)=ye^{1-y} \) 确定 \( C(y)=0 \)，从而得到 \( f(x,y)=xye^{x-y} \)。步骤完整，结果正确。得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确求出两个驻点 \((0,0)\) 和 \((-1,1)\)。在计算二阶偏导数时，第1次识别中 \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) 写为 \( x(y-2)e^{x-y} \)，这与标准答案 \( (1+x-y-xy)e^{x-y} \) 不一致，但后续在点 \((-1,1)\) 处代入计算得到 \( C = \frac{1}{e^2} \)，该数值与标准答案一致（标准答案中 \( C_2 = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \)），说明学生可能误写了表达式但代入计算正确。第2次识别中同样写为 \( x(y-2)e^{x-y} \)，但在 \((-1,1)\) 处计算 \( C = \frac{1}{e^2} \) 且 \( AC-B^2 = \frac{1}{e^4} > 0 \)，这里 \( AC-B^2 \) 的值应为 \( \frac{1}{e^4} \)（因为 \( A = \frac{1}{e^2}, C = \frac{1}{e^2} \)），而标准答案为 \( e^{-2} \cdot e^{-2} = e^{-4} = \frac{1}{e^4} \)，两者一致。学生判断 \( A>0 \) 且 \( AC-B^2>0 \)，得出 \((-1,1)\) 为极小值点，极小值为 \( -\frac{1}{e^2} \)，结论正确。虽然二阶偏导数 \( f_{yy} \) 的表达式书写有误，但代入具体点后计算正确，且最终结论正确，根据“误写不扣分”原则，不扣分。得满分6分。

题目总分：6+6=12分