评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分。学生的解答过程如下：

1. 首先正确利用了积分区域关于直线 \(y = x\) 对称的性质，得出 \(\iint_{D}(1 + x - y)dxdy = \iint_{D} dxdy\)。这一步思路正确，与标准答案一致。
2. 在计算 \(\iint_{D} dxdy\) 时，学生将区域 \(D\) 分成了两部分（以 \(x=1\) 为界），并正确写出了两部分对应的 \(y\) 的上下限：当 \(x \in [\frac{1}{3}, 1]\) 时，\(y\) 从 \(\frac{1}{3}x\) 到 \(3x\)；当 \(x \in [1, 3]\) 时，\(y\) 从 \(\frac{x}{3}\) 到 \(\frac{3}{x}\)（第二次识别中写为 \(\frac{1}{x}\) 到 \(\frac{3}{x}\)，但结合第一次识别和后续计算，应为 \(\frac{x}{3}\) 到 \(\frac{3}{x}\)，此处可能为识别误差，且不影响最终结果）。
3. 积分计算过程：
   • 第一部分：\(\int_{\frac{1}{3}}^{1} (3x - \frac{1}{3}x) dx = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{8}{3}x dx = \frac{4}{3}x^2 \big|_{\frac{1}{3}}^{1} = \frac{4}{3}(1 - \frac{1}{9}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{9} = \frac{32}{27}\)。
   • 第二部分：\(\int_{1}^{3} (\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) dx = \left[ 3\ln x - \frac{x^2}{6} \right]_{1}^{3} = (3\ln 3 - \frac{9}{6}) - (0 - \frac{1}{6}) = 3\ln 3 - \frac{3}{2} + \frac{1}{6} = 3\ln 3 - \frac{4}{3}\)。
   • 两部分相加：\(\frac{32}{27} + 3\ln 3 - \frac{4}{3} = 3\ln 3 + \frac{32}{27} - \frac{36}{27}...