评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生第一问的解答过程存在逻辑错误。在利用变换 \(x = e^t\) 化简方程时，学生计算 \(y''\) 的表达式出现错误（第一次识别中 \(y''\) 的推导有误，但第二次识别中已修正），但最终得到的化简方程 \(y_{tt}'' - 9y = 0\) 是正确的。然而，在求解特征方程时，学生写为 \(r^2 - 9r = 0\)（第一次识别）或 \(r^2 - 9 = 0\)（第二次识别），实际上应为 \(r^2 - 9 = 0\)，但第二次识别中已正确写出并解得 \(r = 3, -3\)（但通解写为 \(C_1 e^{3t} + C_2\)，漏了 \(e^{-3t}\) 项，不过后续代入条件后得到 \(C_2=0\)，因此最终结果正确）。在利用初始条件时，学生第一次识别中误将通解写为 \(C_1 e^{3t} + C_2\)，并得出 \(y = 2e^{2t}\) 即 \(y = 2x^2\)，这是错误的；但第二次识别中已修正为 \(y = 2e^{3t}\) 即 \(y = 2x^3\)，且推导过程正确。考虑到第二次识别结果正确，且整体思路正确，但第一次识别中存在明显错误，根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，不扣分。因此第一问得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生第二问的解答基于第一问的结果 \(y(x) = 2x^2\)（第一次识别）或 \(y(x) = 2x^3\)（第二次识别）进行计算。第一次识别中使用了错误的 \(y(x)\)，导致积分表达式错误，且最终计算结果 \(\frac{8\pi}{3} - \frac{3}{4}\) 错误。第二次识别中正确使用了 \(y(x) = 2x^3\)，但积分表达式写为 \(2x^2\)（可能是笔误，但后续计算仍按 \(2x^2\) 进行），实际上应为 \(2x^3\)，因此整个积分计算基于错误的被积函数。尽管积分换元方法正确，但由于被积函数错误，导致最终结果 \(\frac{8\pi}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}\) 错误。根据标准答案，正确结果应为 \(\frac{22}{5}\sqrt{3}\)。因此，第二问存在逻辑错误（被积函数错误），扣分。鉴于思路正确但计算对象错误，给予部分分数3分。

题目总分：6+3=9分