评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确计算了一阶偏导和二阶偏导，代入方程后得到 \(25 f_{12}'' = 1\)，从而得出 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = \frac{1}{25}\)。思路和计算完全正确，且两次识别结果一致。因此得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生从 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = \frac{1}{25}\) 出发，应写出 \(f_u'(u,v) = \frac{1}{25}v + g(u)\)，然后利用条件 \(f_u'(u,0) = u e^{-u}\) 确定 \(g(u)\)，再积分并利用 \(f(0,v)\) 确定任意函数。但学生作答中直接写“因 \(\frac{\partial f(u,v)}{\partial u} = u e^{-u}\)”，这是错误的（该条件实际是 \(f_u'(u,0) = u e^{-u}\)，不是对任意 \(v\) 成立）。不过，在后续积分中，学生实际上是对 \(u\) 积分 \(f_u'(u,0)\) 得到 \(f(u,0)\)，然后加上 \(\varphi(v)\) 并利用 \(f(0,v)\) 确定 \(\varphi(v)\)，最终得到的表达式 \(f(u,v) = \frac{uv}{25} + \frac{1}{50}v^2 - (u+1)e^{-u}\) 与标准答案一致。虽然表述有逻辑跳跃（未显式写出 \(f_u'(u,v) = \frac{1}{25}v + u e^{-u}\) 这一步），但最终结果正确，且两次识别结果一致。考虑到核心计算和最终答案正确，扣1分表述不严谨。得5分。

题目总分：6+5=11分