评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生尝试使用泰勒公式进行证明，思路与标准答案不同但方向正确。然而，证明过程存在多处严重逻辑错误和推导不严谨之处：
1. 在第一次识别结果中，泰勒展开式书写混乱，例如出现“f(x) = f(x - 1) + ...”等错误表达式。
2. 在第二次识别结果中，虽然泰勒公式书写基本正确，但在将①×(1-x)+②×x后，得到的表达式为：
\(f(x)=(1-x)f(0)+xf(1)+x(1-x)f'(0)+x(x-1)f'(1)+\frac{1}{2}[(1-x)x^{2}f''(\xi_1)+x(x-1)^{2}f''(\xi_2)]\)
这里未能利用题目条件 \(f'(0)=f'(1)\) 来消去一阶导数项，导致表达式复杂且无法直接推出目标不等式。
3. 在得出“从而...”的结论时，跳跃过大，没有给出严谨的放缩过程。表达式中含有 \(f''(\xi_1)\) 和 \(f''(\xi_2)\)，且系数并非 \(x(1-x)\)，直接断言其绝对值 \(\leq \frac{x(1-x)}{2}\) 缺乏依据。
4. 证明过程没有体现对 \(f''(x)\) 有界条件（\(|f''(x)| \le 1\)）的完整和正确使用。
由于核心逻辑推导不成立，且未能正确完成证明，因此不能给予满分。考虑到学生有正确的解题思路（使用泰勒公式）并尝试向目标形式靠拢，给予部分分数。

得分：2分

（2）得分及理由（满分6分）

学生基于第(1)问的结论进行积分推导，这一思路是正确的。积分运算过程基本正确，得到了目标不等式 \(\left|\int_{0}^{1} f(x) dx-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}\)。
但是，第(2)问的证明依赖于第(1)问的正确结论。由于学生在第(1)问中的证明不成立，因此第(2)问的证明前提无效。在这种情况下，即使积分计算无误，整个证明过程也是不完整的。
根据“逻辑错误扣分”原则，由于前提错误导致后续推导失去意义，应扣除相应分数。但考虑到学生展示了正确的积分推导步骤，若第(1)问结论成立则本问证明正确，因此给予部分分数。

得分：3分

题目总分：2+3=5分