评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1”。

题目要求计算函数 \(u(x,y,z)=xy^{2}z^{3}\) 在点 \((1,1,1)\) 处沿向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 的方向导数 \(\left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right\vert _{(1,1,1)}\)。

计算过程应为：先求梯度 \(\nabla u = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)\)，在点 \((1,1,1)\) 处，\(\nabla u|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3)\)。方向导数等于梯度与单位方向向量的点积。向量 \(\boldsymbol{n}\) 不是单位向量，其模为 \(|\boldsymbol{n}| = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{9} = 3\)。因此，单位向量为 \(\boldsymbol{n}^0 = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\)。方向导数为 \(\nabla u|_{(1,1,1)} \cdot \boldsymbol{n}^0 = (1, 2, 3) \cdot (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1\)。

学生的答案“1”与标准答案及上述正确计算结果完全一致。

根据打分要求，答案正确则给满分。因此，本题得分为5分。

题目总分：5分