评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答提供了两次识别结果，内容基本一致，均正确完成了题目求解。具体分析如下：

• 正确计算了所有一阶和二阶偏导数，并代入给定的偏微分方程，化简得到关于 \( f(u) \) 的常微分方程 \( u^2 f''(u) + u f'(u) = 1 \)。
• 正确利用已知条件 \( g(x, x) = 1 \) 和 \( \left.\frac{\partial g}{\partial x}\right\rvert_{(x, x)} = \frac{2}{x} \) 推导出 \( f(1) = 1 \) 和 \( f'(1) = 2 \)。
• 正确将二阶方程化为一阶线性微分方程 \( P' + \frac{1}{u}P = \frac{1}{u^2} \) 并求解，得到 \( f'(u) = \frac{1}{u}(\ln u + C) \)，并利用 \( f'(1)=2 \) 确定常数 \( C=2 \)。
• 正确积分得到 \( f(u) = \frac{1}{2}\ln^2 u + 2\ln u + C_2 \)，并利用 \( f(1)=1 \) 确定 \( C_2=1 \)，最终得到 \( f(u) = \frac{1}{2}\ln^2 u + 2\ln u + 1 \)。

整个解题过程逻辑清晰，步骤完整，计算无误，与标准答案完全一致。因此给予满分。

题目总分：12分