评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一次识别结果在行列式计算过程中出现了多处明显的符号错误和混乱（例如第一行第一列应为 λ，但写成了 λ 两次，且后续变换逻辑混乱），但最终得到了特征多项式的一个因式分解形式 (1-λ)(-λ²+(a-1)λ+a-4)，并利用 1 是重根的条件，令二次式在 λ=1 时为 0，解得 a=3。第二次识别结果在行列式计算中也有笔误（如 λ+2-a 误写为 λ+2-a 后又出现 1-λ+2-a 等），但最终表达式与第一次相同，并同样得到 a=3。尽管计算过程有较多书写错误和跳步，但核心思路（利用重根条件）正确，且最终答案正确。根据“思路正确不扣分”以及“识别错误不扣分”的原则，主要看核心逻辑和最终结果。因此，本小题得满分 6 分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生从已知条件推导出 Aβ = β，即 β 是 A 的属于特征值 1 的特征向量，这一步正确。在求解特征向量时，学生计算了 E-A（或 A-E）的矩阵，发现秩为 1，并给出了特征向量的一个基础解系表示。第一次识别给出的基础解系为 [1,0,0]ᵀ 和 [2,0,1]ᵀ，第二次识别给出的基础解系为 [-1,1,0]ᵀ 和 [2,0,1]ᵀ。第二次识别的解系是正确的（可以通过验证 (A-E)x=0 得到），第一次识别的 [1,0,0]ᵀ 并不是解（代入 (A-E)[1,0,0]ᵀ = [-1,-1,-1]ᵀ ≠ 0），但根据“两次识别只要有一次正确则不扣分”的原则，这里以第二次识别为准，认为学生正确求出了特征向量空间。

然而，学生只给出了 β 的形式，并写出了 (A-E)α = β，但没有进一步求解 α 的取值范围。标准答案要求找出所有满足条件的非零 α 和 β，并得出 α 是任意非零向量（但需满足 β ≠ 0 的约束）。学生作答在得到 β 是特征向量后，没有继续分析 α 需满足 (A-E)²α = 0 且 (A-E)α ≠ 0（或等价地 β ≠ 0），也没有给出 α 的一般形式及与 β 的关系，因此解答不完整。本小题应扣分。考虑到学生正确完成了大部分推导（得到 Aβ=β 并求出特征空间），但缺失关键的最后一步，扣 3 分。得分为 3 分。

题目总分：6+3=9分