评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分。学生的解答过程存在多处逻辑错误和计算错误，具体分析如下：

1. 对称性使用错误：学生正确地指出了区域关于直线 \(y = x\) 对称，并写出了 \(\iint_{D}(1 + x - y)dxdy = \iint_{D}(1 + y - x)dxdy\)。这一步是正确的。
2. 推导过程错误：学生接下来的推导 \(\iint_{D}(1 + x - y)dxdy = \frac{1}{2} \cdot \iint_{D}[2 + (x + y) - (x + y)]dxdy\) 存在逻辑错误。将两个对称的表达式相加，应为 \(\iint_{D}(1 + x - y)dxdy = \frac{1}{2} \iint_{D}[(1+x-y)+(1+y-x)] dxdy = \frac{1}{2} \iint_{D} 2 dxdy = \iint_{D} dxdy\)。学生的写法中括号内表达式为 \([2 + (x + y) - (x + y)]\)，这等价于 \(2\)，但前面的系数 \(\frac{1}{2}\) 和等号左边的表达式没有构成正确的等式关系，属于表述混乱。不过，最终他得到了 \(=\iint_{D}dxdy\) 这个关键结论（在第二次识别结果中，他漏写了前面的 \(\frac{1}{2}\)，直接得到此结果，但过程跳跃）。鉴于核心结论“原积分等于区域面积”是正确的，且标准答案也利用了此结论，这一步的思路本质正确，但表述不严谨。此处不按逻辑错误扣分，因为最终目标正确。
3. 面积计算严重错误：学生计算区域面积 \( \iint_{D} dxdy \) 的方法完全错误。他试图用定积分 \(\int_{0}^{1}3xdx+\int_{1}^{3}\frac{3}{x}dx-\int_{1}^{3}\frac{1}{3}xdx\) 来计算，这显然不是对所述曲线围成区域面积的正确表达。区域由曲线 \(xy=1/3, xy=3\) 和直线 \(y=x/3, y=3x\) 围成，是一个在极坐标或曲线坐标下更方便处理的区域，而不是简单的x型或y型区域。学生所用的积分上下限和表达式没有依据，属于对区域理解的根本性错误，并导致了错误的数值结果 \(\frac{1}{6}+3\ln3\)。
4. 最终答案错...