评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确应用变换 \( x = e^t \) 将欧拉方程化为常系数线性微分方程，并正确求解得到通解 \( y = C_1 x^3 + C_2 x^{-3} \)。代入初始条件 \( y(1)=2, y'(1)=6 \) 后，正确解出 \( C_1=2, C_2=0 \)，从而得到特解 \( y = 2x^3 \)。整个求解过程逻辑清晰，结果正确。虽然第一次识别结果中出现了“q”这样的疑似识别错误字符（应为“9”），但根据上下文和第二次识别结果，可以判断为误写，不影响核心逻辑。因此，本题得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确代入 \( y = 2x^3 \)，得到积分 \( \int_{1}^{2} 2x^3 \sqrt{4 - x^2} dx \)。并正确选择了三角代换 \( x = 2\sin t \) 进行处理，正确计算了积分上下限的变换（\( x=1 \) 时 \( t=\pi/6 \)，\( x=2 \) 时 \( t=\pi/2 \)），并将被积函数正确化简为关于 \( t \) 的表达式。然而，学生的作答在化简过程中出现了错误：从 \( 2 \times (2\sin t)^3 \cdot 2\cos t \cdot 2\cos t dt \) 化简时，系数计算有误，应为 \( 2 \times 8 \sin^3 t \times 2\cos t \times 2\cos t = 64 \sin^3 t \cos^2 t \)，但学生后续写成了 \( 64 \int \sin^3 t (1 - \sin^2 t) dt \)，这本质上是 \( 64 \int \sin^3 t \cos^2 t dt \) 的等价写法，没有错误。但是，学生的解答在积分化简后并未完成最终的计算，没有得出如标准答案所示的数值结果 \( \frac{22}{5}\sqrt{3} \)。因此，解题过程不完整，扣2分。本题得4分。

题目总分：6+4=10分