评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答给出了完整的解题过程：正确写出旋转体体积公式 \( V(t) = \pi \int_t^{2t} x e^{-2x} dx \)，使用分部积分法求出 \( V(t) \) 的表达式（尽管化简形式与标准答案不同，但等价），然后对 \( V(t) \) 求导得到 \( V'(t) \)，并令 \( V'(t) = 0 \) 解得临界点 \( t = \frac{\ln 4}{2} = \ln 2 \)（学生写为 \( \frac{\ln 4}{2} \)，正确），通过二阶导数判断为极大值点，并计算出最大值 \( \frac{\ln 4}{8} \pi + \frac{3}{64} \pi \)。该结果与标准答案 \( \left( \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64} \right) \pi \) 等价（因为 \( \frac{\ln 4}{8} = \frac{2\ln 2}{8} = \frac{\ln 2}{4} \)，注意标准答案为 \( \frac{\ln 2}{16} \)，这里学生计算有误，见下文扣分点）。

但存在以下问题：

1. 在最终最大值表达式中，学生给出 \( \frac{\ln 4}{8} \pi + \frac{3}{64} \pi \)，而标准答案为 \( \left( \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64} \right) \pi \)。由于 \( \frac{\ln 4}{8} = \frac{2\ln 2}{8} = \frac{\ln 2}{4} \)，不等于 \( \frac{\ln 2}{16} \)，说明学生在计算定积分 \( V(\ln 2) \) 时出现算术错误。标准答案中 \( V(\ln 2) = \pi \int_{\ln 2}^{2\ln 2} x e^{-2x} dx \) 计算结果为 \( \left( \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64} \right) \pi \)，学生未展示该积分计算过程，直接给出错误系数，属于计算错误。
2. 学生在求导过程中表达式较繁琐，但最终导函数化简为 \( V'(t) = -\pi t e^{-2t} + 4\pi t e^{-4t} = \pi t ...