评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一问的最终答案 a=1, b=2 是正确的。但解题过程存在多处逻辑错误和表述不严谨之处，需要扣分。

扣分点：
1. 由“方程组\(Ax = 0\)的解是\(B^Tx = 0\)的解，但两个方程组不同解”并不能直接推出“\(r(A)\neq r(B)\)”。实际上，\(B\)是3×2矩阵，\(B^T\)是2×3矩阵，秩的比较对象不直接。此处推理逻辑有误。
2. 学生直接断言“已知\(r(A)=2\)”，但并未给出计算或说明理由。在标准答案中，这是通过分析增广矩阵的秩推导出来的。此处属于关键步骤缺失。
3. 在计算\(B\)时，第一次识别结果中写成了\(B=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&2&2\end{bmatrix}\)，这明显是错误的（维度不对），但第二次识别结果正确。根据“禁止扣分”原则第3条，以正确的一次为准，不扣分。
4. 在利用通解建立关系时，逻辑表述混乱。学生试图说明\(Ax=0\)的解向量可以由\(B^Tx=0\)的基础解系线性表示，但写法“\(m(-2,0,1)^{T}+n(-1,1,0)^{T}=(-1,-a,1)^{T}\)”意味着存在一组确定的\(m, n\)使等式成立，这并不准确。更严谨的说法是\((-1,-a,1)^T\)与\((-2,0,1)^T\)和\((-1,1,0)^T\)线性相关。虽然最终得到了正确的a=1，但推理过程不严谨。

鉴于最终答案正确，但核心推理过程存在逻辑错误和关键步骤缺失，扣3分。

得分：6 - 3 = 3分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第二问的最终标准形（6y3^2）和特征值（0,0,6）是正确的，并正确求出了对应的特征向量。但正交变换矩阵\(Q\)未完整求出，过程存在严重错误。

扣分点：
1. 致命错误：在将特征向量正交化时，得出“\(\beta_2 = 0\)”。这是严重的计算或逻辑错误。零向量不能作为特征向量，也无法构成正交矩阵的列。这表明学生未能正确完成施密特正交化过程，导致最终的正交变换矩阵缺失。
2. 由于上述错误，学生没有给出最终的正交矩阵\(Q\)，也没有写出完整的正交变换\(x=Qy\)。题目要求“求正交矩阵\(x = Qy\)将\(f\)化为标准形”，这是一个完整的任务，学生只完成了一...