评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确求解了微分方程，得到通解 \(y = Cx^{n+1}\)，并利用初始条件 \(y_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}\) 确定了常数 \(C=\frac{1}{n(n+1)}\)，从而得到 \(y_n(x)=\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}\)。此部分解答完整且正确，与标准答案一致。因此，第(1)小题得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出了级数表达式 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}\)，并利用比值法求出了收敛半径 \(R=1\)。对于端点 \(x=1\) 和 \(x=-1\) 的判别：
- 对于 \(x=1\)，学生指出通项极限为0，但仅凭通项趋于零不足以判断级数收敛（例如调和级数）。然而，在标准答案中，\(x=1\) 处级数变为 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)，这是一个收敛的 \(p\) 级数（\(p=2>1\)），学生虽然理由不严谨（仅用通项趋于零），但结论正确（收敛）。
- 对于 \(x=-1\)，学生试图使用交错级数判别法（指出 \(a_{n+1} 因此，学生正确得到了收敛域为 \([-1,1]\)。
但是，学生没有求出和函数 \(S(x)\)，解答在“S=”处中断。根据题目要求，需要求出收敛域及和函数，和函数部分完全缺失。
因此，第(2)小题只能得到部分分数。考虑到收敛域的求解基本正确（尽管端点判别理由略有瑕疵，但结论正确），给3分。和函数部分未做，扣除3分。

题目总分：6+3=9分