评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答整体正确，思路清晰，计算准确，与标准答案完全一致。具体分析如下：

1. 特征多项式与特征值：正确计算了特征多项式 \(|\lambda E - A| = (\lambda - b)(\lambda - 1)(\lambda - 3)\)，并由此得出矩阵仅有两个不同特征值意味着 \(b = 1\) 或 \(b = 3\)。这一步逻辑正确，无错误。
2. 参数 \(a\) 的求解：针对 \(b=1\) 和 \(b=3\) 两种情况，分别计算了对应二重特征值的矩阵 \(\lambda_i E - A\) 的秩，并利用矩阵可对角化的条件（几何重数等于代数重数，即 \(r(\lambda_i E - A) = n - n_i\)）正确推导出 \(a = 1\) 或 \(a = -1\)。推导过程无误。
3. 特征向量与可逆矩阵 \(P\)：对两种参数组合情况，分别求出了全部线性无关的特征向量，并正确构成了可逆矩阵 \(P_1\) 和 \(P_2\)。结果与标准答案一致。

尽管学生作答在两次识别结果中，部分矩阵变换的中间步骤书写与标准答案略有差异（例如 \(\lambda_1E - A\) 变换后矩阵的 \((2,3)\) 元素在第一次识别中写为 \(1+b\)，实应为 \(1-b\)，但后续计算中仍按 \(b=1\) 的情况处理，未影响最终结果），但根据“禁止扣分”规则，这些差异可视为识别误差或书写笔误，且核心逻辑与最终结果完全正确，因此不扣分。

综上，该题作答得满分 12分。

题目总分：12分