评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为“2”。

理由：本题考察在给定线性变换于一组基下的作用，求矩阵的实特征值。已知 \(A\) 在基 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}\) 下的变换关系，可以写出表示矩阵 \(B\)，满足 \(A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)B\)。由条件： \[ \begin{aligned} A\alpha_1 &= 2\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \\ A\alpha_2 &= 0\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_3 \\ A\alpha_3 &= 0\alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 \end{aligned} \] 因此表示矩阵为： \[ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] 由于 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关，矩阵 \(A\) 与 \(B\) 相似，它们具有相同的特征值。计算 \(B\) 的特征多项式： \[ |\lambda I - B| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-1 & 1 \\ -1 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 \\ -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-2)[(\lambda-1)^2 + 2] = (\lambda-2)(\lambda^2 - 2\lambda + 3) \] 令特征多项式为零：\((\lambda-2)(\lambda^2 - 2\lambda + 3)=0\)。解得 \(\lambda_1 = 2\)，\(\lambda_{2,3} = 1 \pm i\sqrt{2}\)（复数）。因此，\(A\) 的唯一实特征值为 2。

学生答案“2”与标准答案一致，且作答过程（虽然未展示）...