评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 的表达式（满分6分）

得分：5分

理由：学生正确写出偏导数 \( f_x = -2xe^{-y} \), \( f_y = e^{-y}(x^2 - y - 1) \)，并通过积分得到 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} - ye^{-y} + 2e^{-y} \)，这与标准答案 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} \) 等价（展开后一致）。利用初始条件 \( f(0,0)=2 \) 确定了常数，结果正确。但在积分过程中，第一次识别中写“\( \int f_y' dy = -x^2 e^{-y} - ye^{-y} + 2e^{-y} + C_1 \)”以及第二次识别中分别用 \( C_1, C_2 \)，表述不够严谨（应说明 \( C_1 \) 是 \( y \) 的函数，或直接引入待定函数 \( \varphi(y) \)），因此扣1分。

（2）求驻点（满分2分）

得分：2分

理由：正确解方程组 \( f_x = 0, f_y = 0 \) 得到驻点 \( (0, -1) \)，与标准答案一致。

（3）判断极值并求极值（满分4分）

得分：3分

理由：学生正确计算了二阶偏导数 \( f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} \)，并在驻点处代入值得出 \( A = -2e, B = 0, C = -e \)，然后利用 \( AC - B^2 > 0 \) 且 \( A < 0 \) 判断为极大值，极大值 \( f(0,-1) = e \) 正确。但在第二次识别中，\( f_{xx}'' = -2e^{y} \) 应为 \( -2e^{-y} \)，代入 \( y = -1 \) 后得到 \( -2e \) 结果正确，但表达式有笔误（将 \( e^{-y} \) 误写为 \( e^{y} \)），由于是识别可能误写且最终数值正确，仅扣1分。

题目总分：5+2+3=10分