评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路正确：识别出积分区域是两个圆的交集，并利用对称性将区域分为两部分，只计算其中一部分再乘以2。在极坐标下进行积分，这是合理的解题路径。

然而，在具体计算过程中存在多处逻辑和计算错误：

1. 在第一次识别结果中，被积函数展开有误，出现了“\(r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin\theta + 2r^{2}\sin\theta\cos\theta\)”这样的错误项。
2. 在第二次识别结果中，虽然被积函数展开正确，但在后续步骤中出现了关键错误：从“\((1 - 2r^{2}\sin\theta\cos\theta)rdr\)”到“\((1 - 2\sin\theta\cos\theta)\frac{1}{4}(4\sin\theta)^{4}d\theta\)”这一步是错误的。正确的积分应为 \(\int_{0}^{4\sin\theta} r^3(1 - \sin2\theta) dr\)，积分后得到 \(\frac{1}{4}(4\sin\theta)^4(1 - \sin2\theta)\)，但学生写成了 \(\frac{1}{4}(4\sin\theta)^4\) 乘以一个与 \(r\) 无关的因子，这反映了积分运算的逻辑错误。
3. 最终计算结果 \(12\pi - \frac{112}{3}\) 与标准答案 \(12\pi - \frac{16}{3}\) 不符，且差距较大，证实了计算过程存在严重错误。

考虑到学生正确运用了对称性和极坐标变换的核心思想，但在关键的积分计算步骤上出现逻辑错误，导致最终结果错误。根据评分原则，思路正确部分不扣分，但逻辑错误需要扣分。本题满分12分，扣除因计算逻辑错误导致结果错误的分值。给予部分分数以肯定其正确思路。

得分：6分。

题目总分：6分