评分及理由

（1）充分性部分得分及理由（满分6分）

学生充分性证明的逻辑存在严重错误。题目要求证明的是“导函数严格单调增加”的充要条件，但学生一开始假设“f(x)在(a,b)上↑”（通常理解为f(x)单调增加，而非导函数单调增加），然后使用拉格朗日中值定理得出两个区间上的导数，并声称因为f(x)↑，所以f'(ξ₂) > f'(ξ₁)。这里存在两个根本问题：第一，前提假设错误，将待证明的结论（导函数单调增）作为已知条件使用，属于循环论证；第二，即使假设f(x)单调增加，也只能得到f'(ξ) ≥ 0，无法推出f'(ξ₂) > f'(ξ₁)。因此，充分性证明完全错误。此外，学生最后写出的不等式方向与题目要求相反（第一次识别结果为“>”，第二次为“>”，但标准应为“<”）。鉴于充分性证明思路和逻辑均不正确，且与标准答案的严谨分析（利用极限和单侧导数）相去甚远，故充分性部分得0分。

（2）必要性部分得分及理由（满分6分）

学生必要性证明的思路与标准答案不同，尝试使用极限和中间点的方法。但证明过程存在多处逻辑断裂和错误：1. 引入的h和x₀关系不明确，不等式链的建立缺乏依据；2. 从极限得到f'(x₁)和f'(x₂)与差商的不等式关系后，未能有效推导出f'(x)的单调性，而是直接跳跃到“f'(x) ≥ 0”（这甚至不是题目要证的结论，题目要证的是f'(x)严格单调增）；3. 整个论证过程不严谨，关键步骤缺失，未能成功证明必要性。因此，必要性证明虽然有一定想法，但逻辑不完整且结论错误，不能得分。标准答案中必要性证明简洁清晰，利用拉格朗日中值定理直接得出结论，学生的证明无法与之等效。

（3）整体结构及结论得分及理由（满分0分）

本题为一道完整的证明题，不单独设置“整体结构”分数。总分由充分性和必要性两部分构成。

题目总分：0+0=0分