评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确得出 a=4，并正确计算出 A 的特征值为 0,3,6，从而得出 k>0。但在推理过程中存在一些表述不严谨和计算细节错误：
- 第一次识别中行列式计算过程有笔误（第二行元素写错），但最终结果正确。
- 第二次识别中行列式元素位置有误（第三行第三列应为 a，但写成了 1），但最终 a=4 正确。
- 两次识别均正确得到特征值，并指出正惯性指数相同，从而 k>0。
由于核心逻辑正确，结果正确，仅因表述和中间步骤有瑕疵，扣 1 分。
得分：5 分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确得出 k=3，并求出特征向量，正交单位化后得到正交矩阵 Q。但存在以下问题：
- 第一次识别中 λ=0 对应的特征向量 η₁ 写为 (1,-2,-1)^T，与正确答案 (1,-2,1)^T 符号有误，导致后续 Q 的第三列与标准答案差一个符号。
- 第二次识别中 λ=6 对应的特征向量 ξ₃ 写为 (1,0,1)^T，而正确答案应为 (-1,0,1)^T，导致 Q 的第三列第一行符号错误。
- 两次识别中 Q 的列向量顺序与标准答案不同（标准答案按特征值 3,6,0 的顺序排，学生按 0,3,6 排），但题目未指定顺序，只要 Q 的列是单位正交特征向量且对应特征值正确即可，顺序不同不扣分。
由于特征向量有符号错误，导致 Q 的部分元素符号错误，但整体方法正确，结果基本正确，扣 2 分。
得分：4 分

题目总分：5+4=9分