评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答有两份识别结果，其中第二次识别结果中明确写出“区域关于 \(y = x\) 对称”，这是正确的。虽然第一次识别结果中写成了“关于 \(t + t\) 对称”，但根据上下文可以判断为识别错误，不扣分。

学生采用了极坐标变换进行计算，思路与标准答案一致（标准答案利用了对称性化为区域 \(D_1\) 上积分的两倍，而学生直接在整个区域 \(D\) 上利用对称性将角度积分限取为 \(0\) 到 \(\pi/4\)，并将半径上限取为 \(4\sin\theta\)，这也是正确的，因为区域 \(D\) 在 \(0 \le \theta \le \pi/4\) 部分由圆 \(x^2+(y-2)^2 \le 4\) 即 \(r=4\sin\theta\) 界定）。

但在计算过程中，学生最终结果无论是第一次的 \(6\pi - \frac{56}{3}\) 还是第二次的 \(6\pi - \frac{64}{3}\)，都与标准答案 \(12\pi - \frac{16}{3}\) 不符。检查计算步骤：

• 极坐标下被积函数为 \(r^2(\cos\theta - \sin\theta)^2\)，面积元为 \(r dr d\theta\)，所以积分表达式为 \(\int_0^{\pi/4} d\theta \int_0^{4\sin\theta} r^3 (\cos\theta - \sin\theta)^2 dr\)，这一步正确。
• 对 \(r\) 积分得 \(\frac{r^4}{4}\big|_0^{4\sin\theta} = 64 \sin^4\theta\)，所以积分化为 \(64 \int_0^{\pi/4} (\cos\theta - \sin\theta)^2 \sin^4\theta d\theta\)。
• 而 \((\cos\theta - \sin\theta)^2 = 1 - \sin 2\theta\)，所以被积函数为 \(64 \sin^4\theta (1 - \sin 2\theta)\)。
• 学生写成了 \(64 \int_0^{\pi/4} (1 - 2\sin\theta\cos\theta) \sin^4\theta d\theta\)，因为 \(2\sin\theta\cos\theta...