评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“0”。

题目要求计算函数 \(f(x)=e^{\sin x}+e^{-\sin x}\) 在 \(x=2\pi\) 处的三阶导数 \(f'''(2\pi)\)。首先，由于 \(\sin x\) 是周期为 \(2\pi\) 的函数，有 \(\sin(2\pi) = 0\)，因此 \(f(2\pi) = e^0 + e^0 = 2\)。更关键的是，函数 \(f(x)\) 可以看作关于 \(\sin x\) 的偶函数。其任意阶导数在 \(\sin x = 0\) 的点（即 \(x = n\pi\)）处，若导数表达式中含有 \(\cos x\) 的奇次幂因子，则导数值可能为0。具体计算如下：

一阶导数：\(f'(x) = \cos x (e^{\sin x} - e^{-\sin x})\)
二阶导数：\(f''(x) = -\sin x (e^{\sin x} - e^{-\sin x}) + \cos^2 x (e^{\sin x} + e^{-\sin x})\)
三阶导数：\(f'''(x)\) 表达式较为复杂，但将 \(x=2\pi\)（即 \(\sin x=0, \cos x=1\)）代入时，经过计算（或利用函数的奇偶性及泰勒展开分析），所有非零项均会消失，最终结果为0。

学生给出的答案“0”与标准答案完全一致。根据打分要求，答案正确即得满分。虽然学生未展示步骤，但本题为填空题，且规则明确“正确则给5分，错误则给0分，本题禁止给步骤分”，因此应给予满分。

得分：5分。

题目总分：5分