评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1”。

我们需要计算 \( P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) \)。根据条件概率的定义：
\( P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) = \frac{P((B \cup C) \cap (A \cup B \cup C))}{P(A \cup B \cup C)} \)。

由于 \( B \cup C \subseteq A \cup B \cup C \)，分子简化为 \( P(B \cup C) \)。
因此，所求概率为 \( \frac{P(B \cup C)}{P(A \cup B \cup C)} \)。

已知：
- \( A \) 与 \( B \) 互不相容，\( A \) 与 \( C \) 互不相容，所以 \( P(A \cap B) = 0 \)，\( P(A \cap C) = 0 \)。
- \( B \) 与 \( C \) 相互独立，所以 \( P(B \cap C) = P(B)P(C) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)。
- \( P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3} \)。

计算 \( P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \)。

计算 \( P(A \cup B \cup C) \)：
由于 \( A \) 与 \( B \)、\( A \) 与 \( C \) 互不相容，但 \( B \) 与 \( C \) 可能同时发生，所以：
\( P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B \cup C) - P(A \cap (B \cup C)) \)。
因为 \( A \) 与 \( B \) 和 \( C \) 都不相容，所以 \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) = \varnothin...