评分及理由

本题满分12分，分为求收敛域与求和函数两部分。学生作答仅给出了收敛域的部分计算，且收敛域的论证存在错误；和函数部分完全没有进行。因此，只能对收敛域部分酌情给分。

（1）收敛域部分得分及理由（满分约6分）

学生作答中，两次识别结果都尝试计算了收敛半径。
正确之处： 1. 将通项正确拆分为两项之和：\(a_{n}=\frac{(-4)^{n}+1}{4^{n}(2n+1)}=\frac{(-1)^{n}}{2n+1}+\frac{1}{4^{n}(2n+1)}\)。 2. 在第二次识别中，比值极限的计算过程虽然书写混乱且有冗余步骤（如引入 \(\frac{1}{(-4)^{n+1}}\)），但最终得到了极限为1的结论，并正确得出收敛半径 \(R=1\)。 3. 判断了当 \(x=\pm 1\) 时级数收敛，并给出了收敛域 \([-1,1]\)。
错误与扣分： 1. 逻辑错误： 在判断端点 \(x=\pm 1\) 的敛散性时，学生仅写了“当\(x=\pm1\)时，收敛”，没有给出任何分析或理由。这是论证不完整，属于逻辑缺失。标准答案中对此进行了拆项并分别说明两个级数收敛。此处应扣分。 2. 书写与表达错误： 第一次识别结果中，级数通项写成了 \(\frac{(-4)^{n + 1}}{4^{n}(2n + 1)}x^{2n}\)，这是一个明显的笔误（可能是识别错误）。根据“禁止扣分”原则第1、2条，若判断为误写则不扣分。结合第二次识别结果正确，此处不扣分。但比值计算过程中的表达式书写非常混乱，例如 \(\frac{\left| \frac{(-4)^{n+1}+1}{4^{(2n + 1)}(2n + 3)}\right|}{\left|\frac{(-4)^{n}+1}{4^{n+1}(2n + 3)}\right|}\) 分母的指数和下标均有错误，虽然最终导向了正确结论，但过程不严谨。
评分： 收敛域部分思路基本正确，得到了正确结果。但因端点敛散性论证缺失（关键步骤不完整），以及过程书写混乱不严谨，不能给满分。给予该部分满分（假设6分）中的 4分。

（2）和函数部分得分及理由（满分约6分）

学生作答在写出 \(S=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-4)^{n}+1}{4^{n}}\cdot\frac{1}{2n ...